APPENDICE

 

Il modello aritmetico della cosmologia arcaica[1]

 

I

 

Intervalli temporali e sistemi di equivalenze

 

E come il  tempo tegna in cotal testo

le sue radici e ne li altri le fronde,

omai  a te puot'esser manifesto

 

Dante,Paradiso,XXVII,118-120

                                                                                                                                   

         I problemi della Cosmologia arcaica vertono essenzialmente sulle espressioni degli intervalli temporali DT e del sistema di equivalenze tra le varie espressioni e il calcolo delle longitudini solari alle lune nuove e piene. I cicli presi in esame sono: il giorno, il mese lunare, l'anno solare, la rivoluzione dei nodi lunari, ed i cicli planetari. Non tratteremo del problema dei cicli planetari.

         Il giorno viene definito come l'intervallo di tempo per una rotazione della sfera celeste attorno al polo celeste. Si tratta del giorno sidereo e non di quello solare, che è l'intervallo di tempo per due consecutivi passaggi al meridiano.

         Il mese lunare è l'intervallo di tempo per il ritorno del sole e della luna alla medesima fase lunare:

                            Congiunzione : l sole = l luna;    

                            Opposizione l luna = l sole + 180°

 

         L'anno solare si distingue in sidereo, ritorno del sole alla medesima stella fissa della sfera celeste, e in tropico, ritorno del sole ai medesimi punti equinoziali o solstiziali. Questa distinzione dipende dalla precessione degli equinozi: ogni anno tropico i punti equinoziali e solstiziali si spostano in senso contrario alla direzione di corsa apparente del sole sulla sfera celeste di 50"/a, angolo questo equivalente all'arco che il polo celeste fa attorno al polo dell'eclittica. V'è poi un terzo anno, chiamato giuliano, di 365.25 giorni che serve per i calcoli e per  il  calendario. I tre cicli vengono indicati con  As,At, Ag.

                                                1*At = 50"

                                                   72*At = 3600"=             (1)

         La rivoluzione dei nodi lunari  (Rn) è l'intervallo di tempo che intercorre tra due successive coincidenze del nodo ascendente lunare con il punto vernale o punto equinoziale di primavera.Il nodo ascendente lunare come il punto equinoziale del sole (intersezione dell' equatore celeste con l'eclittica), si sposta in senso retrogrado , sicché si trova una notevole relazione, impiegata solo nella Cosmologia arcaica, tra l'intervallo di tempo espresso in valori angolari di precessione degli equinozi e il numero delle rivoluzioni dei nodi lunari: i gradi e i primi per l'intervallo temporale  e il numero di Rn sono in progressione geometrica! Questa caratteristica permette non solo una facile memorizzazione, importante per le culture pre-letterarie, ma anche una facilità di calcoli, altrimenti impensabile:

 

                            [1° * x    2' * x ] Rp  =  4*x Rn                        (2)

 

         La (2) significa che nel tempo in cui il polo si sposta di 1° 2' avvengono 4 Rn. Applicando la (1) alla relazione (2) si può ottenere il periodo dei nodi lunari espresso in anni tropici.

         Questa medesima relazione suggerisce la seguente domanda: Per lo stesso periodo di tempo, qual è la differenza in giorni tra anno sidereo e anno tropico? Gli antichi hanno trovato una terza equivalenza fondamentale:

                            1*x; 3*x giorni = 4*x Rn                           (3)

         Da queste prime tre equivalenze si ottengono le seguenti:

                  20°40' Rp = 80 Rn = 24,48;anni = 21 G                          (4)

         La (4) afferma che nel tempo in cui il polo celeste compie attorno al polo dell'eclittica un angolo di 20° 40' avvengono 80 rivoluzioni dei nodi lunari e 1488 (24*60 + 48 = 1488) anni tropici, e la differenza annuale (As - At), presa 1488 volte risulta di 21 giorni:

                    24,48;* (As - At)  =           21 G                             (5)

         I termini numerici della (5) sono multipli di 3, sicché essa si riduce a

                  8,16;* (As - At)        =       7 G                               (6)

         In base alla (6) si può affermare e facilmente ricordare che l'anno sidereo supera l'anno tropico di una quantità pari al rapporto di 7  a 8,16 giorni.

         Poiché la differenza tra anno sidereo e anno giuliano di 365.25 giorni è minore della differenza tra l'anno giuliano e quello tropico, partendo dalla (6), dividendo per 2 il secondo membro, si avrà

che

                  8,16+x;*(365.25 - At) =  3;30+y giorni                   (6 bis)

         La (6 bis) si risolve solo se si conosce l'effettiva differenza oppure se il testo arcaico preso in esame su questo argomento indichi espressamente le grandezze incognite, x e y, che per la (6 bis) sono rispettivamente quattro e ventiquattro:

                  8,20;*(365.25 - At) = 3;54 giorni                                     (7)

         La (7) è identica, se si vuole esprimerla in numeri a base decimale, a: in 5000 anni la differenza è di 39 giorni, oppure in 10000 anni la differenza è 78 giorni. Nei testi antichi non ricorre il numero 78, ma la enumerazione ordinale di 12 elementi (primo, secondo, . . . , dodicesimo), la cui somma è 78.

         Con la (6) e la (7) è possibile ricavare la relazione relativa alla differenza tra anno sidereo e anno giuliano, che è

 

                  8,36,40;*(As   - 365.25)  = 3,15;42 giorni                   (7 bis)

        

         La (6), la (7) e la (7 bis) hanno nella cultura arcaica il nome di Fulmine, Tuono e Lampo, le armi di Zeus secondo la tradizione greca, mentre, se la terra è il nome del quadrato, inscritto nel cerchio dell'eclittica, i cui vertici sono i punti equinoziali e solstiziali, allora il terremoto è il nome tratto dal cataclisma terreste per designare il fenomeno celeste della precessione degli equinozi e conseguentemente l'intervallo temporale espresso in valore angolare, DT°. L'epiteto omerico, scuotitor della terra, dato a Posidone, il signore della terra, l'equivalente greco del sumerico En-Ki, si rivela appropriato, essendo egli connesso con l'oceano, l'equatore celeste, che interseca l'eclittica in punti sempre diversi.  

         È fondamentale, per poter fare i calcoli, conoscere il periodo medio del mese lunare o mese sinodico della luna, che in base ai valori contemporanei è di 29.5306 giorni. Questo valore non può comparire, non solo per la notazione decimale, ma anche perché non può essere, né memorizzato né espresso esplicitamente in una relazione. Ciò che gli antichi hanno impiegato è una relazione che lega l'intervallo DT °, espresso in gradi, e il numero di mesi lunari:

                  DT ° - DTg    =     DT * [14,50;30] mesi            (8)

         Per applicare la (8) è necessario trasformare l'espressione DT ° in giorni nel modo seguente:

                  DT * 72*365.25 - DT = DT*[14,50;30] mesi                 (8 bis)

         Poichè per la (7) 365.25 = At +3.9/500, per semplice sostituzione, avremo

                  DT*72*(At +3.9/500) - DT = DT*[14,50;30] mesi                 (8 ter)

         Operando sulla (8 ter) si ottiene facilmente l'espressione di equivalenza

                  DT*72 At = DT*[14,50;30] mesi + DT*(1 - 72*3.9/500)

                  DT*72 At = DT*[14,50;30] mesi + DT*  3,39;12/8,20 g.       (9)

                                                                                    

         La (9) permette di porre una relazione tra l'intervallo temporale DT° e l'equivalente numero di anni tropici con il corrispondente numero B di mesi lunari. Per sapere il valore approssimato all'intero o alla metà è necessario seguendo questa via valutare l'espressione

                                      DT* 3,39;12/8,20 giorni         

                                                        

comparandola al valore approssimato del mese lunare di 29.5 giorni. Tuttavia v'è un'altra procedura che dipende da una interessantissima relazione.

                  Questa relazione di equivalenza della cosmologia arcaica permette di trasformare direttamente il numero B di mesi sinodici lunari in valori angolari DT ° di precessione degli equinozi o di Rp. Essa è

                                   B                  81               B                  1

         DT ° =        ----------   -   [   --------   *     ----------  *      -----  ]          (10)  

                             14,50;30           100             12000            3600

         Il termine correttivo della (10) è molto buono e implica che, per B = 12000 mesi sinodici della luna, esso equivale a 0".81 pari a poco più di 5.91 giorni.

         Dalla (10) si può ottenere il numero B di mesi lunari, dato un intervallo temporale espresso in valore angolare di rivoluzione del  polo celeste attorno al polo dell'eclittica  Rp o di precessione degli equinozi.

 

                                                                        (14,50;30)*DT °      81          1  

          B =  (14,50;30)*DT °  +  (14,50;30) * [   ---------------------- *  ------  * ------- ]  (10 bis)

                                                                             12000                100       3600

         A questo punto si hanno tutte le relazioni per calcolare il ciclo lunisolare A anni tropici = B mesi lunari e i parametri del sistema arcaico per il calcolo delle longitudini solari alle sigizie, lune nuove o lune piene.

         Dalla (8 bis) per DT ° = 1°si può calcolare il ciclo sinodico della luna:

 

                                         7,18,17;

                  P     =           -------------   giorni                        (11)                                                           
                                        14,50;30

 

mentre il numero di giorni per 72 anni tropici ( equivalente a DT ° = 1°) è

 

                                                                              4,40;48*DT ° 

                     DT° *72       =          7,18,18*DT ° -  -------------------  giorni            (12)

                                                                                      8,20;

 

                                              

II

Il moto solare

 

         Il modello per il calcolo delle longitudini solari alle lune nuove o alle lune piene si basa su delle semplici assunzioni.

         1) Se il sole percorresse ogni giorno 1° l’anno sarebbe esattamente di 360 giorni

         2) Se la lunghezza del mese lunare (da novilunio a novilunio, da plenilunio a plenilunio)  fosse di 30 giorni, vi sarebbe l’equivalenza di 12 mesi lunari ogni anno solare:  L’espressione

                                               360°/a 

                                              -----------

                                               30°/m

risulta pari  a 12m/a. Tuttavia il mese lunare non è di 30 giorni e l’anno solare di 360. Allora si può pensare di suddividere il percorso di 360° in due archi, continuando il sole a percorrere ogni mese lunare su un tratto, quello più lungo e più veloce, 30°/m, mentre, sul rimanente arco, una velocità inferiore : v1 = m/n * 30°/m con m < n. L’espressione precedente diventa

 

                  Dato a1+ a2 = 360°/a

 

                                   a°1                             a°2                Mesi

                               ------------   +         ------------  =     ---------------        (13)

                                m/n*30°/m        30°/m             Anni

 

         Dato  la misura di un arco  e i termini del rapporto  m e n si può trovare  sia il numero dei mesi che il numero degli anni che caratterizza il ciclo lunisolare alla base del calcolo delle posizioni del sole mese dopo mese. Viceversa dato il numero degli anni e quello corrispondente dei mesi lunari  si può trovare con procedure  semplicemente aritmetiche sia il valore di n (Anni/30) sia il valore di a°1 procedendo nel seguente modo:   

Se B è il numero  dei mesi corrispondenti ad A anni solari  l’arco a°1 è pari o è un sottomultiplo della differenza aritmetica 

 

B - 360*A/30

 

Solo se tale differenza è inferiore a 180  o è pari ad un multiplo di una grandezza inferiore a 180 la misura dell’arco può essere assunta, dovendo essere a°1  l’arco più corto. Infatti abbiamo la seguente eguaglianza:

                  

                              B - 360*A/30 = [n-m]*a°1                                      (14)

 

Per una completa determinazione del sistema è necessario sapere almeno la longitudine l di almeno uno dei punti di discontinuità della velocità solare (Dl°/m).

         In base alla (11) e alla (12) è possibile calcolare la correzione finale Dl° del ciclo (A anni tropici = B mesi lunari) sull'arco veloce, e in base ad m e n, ridurla proporzionalmente sull'arco lento. Tale correzione dipende dal fatto che il numero B di mesi lunari non coincide esattamente con il numero A di anni tropici.

         Per il calcolo dei due archi,  a°1 e a°2 ,  con la (13) e la (14) è necessario che il numero B di mesi lunari sia quello relativo ad A anni siderei, perché la somma dei due archi è 360°, mentre per il calcolo delle longitudini solari B si riferisce ad A anni tropici.

 

Esempi di calcolo

 

         Calcoliamo i parametri del sistema rispettivamente per  un intervallo temporale DT = 65°,60°, 50°, 888 e 651 anni.  

 

                  Applicando la (10 bis) si ottiene:

                  

                  per DT = 65°  B = 57883.466  @   57883.5

                  per  DT = 60°  B = 53430.892  @   53431

                  per  DT = 50°  B = 44525.743  @  44526

                  per  888  anni  DT = 888/72 = 12°.3333  B =  10983.01  @ 10983

                  per  651 anni  DT = 651/72 = 9°.041666   B =  8051.738  @  8052

 

         Il numero A per i primi tre cicli è rispettivamente di 4680, 4320,3600 anni

 

         Applicando la (6) si ottiene la differenza tra anno sidereo e anno tropico per i cinque periodi scelti:

                  1) 4680*7/496 =  66.04.. giorni  @  2 mesi lunari

                  2) 4320*7/496 = 60.96..  giorni @ 2 mesi lunari

                  3) 3600*7/496 = 50.80..  giorni @ 1.5 mesi lunari

                  4) 888*7/496  =  12.53..  giorni @ 0 mesi lunari  

                  5) 651*7/496   =  9.18..   giorni @  0 mese lunare

         Sapendo che il parametro n è uguale a A/30 si applichi la (14) per la determinazione dei parametri mancanti, che sono la lunghezza dei due archi in cui viene suddiviso il percorso (apparente)  annuale del sole e il valore di m. Essi sono rispettivamente:

                  1) 172°.55  -  187°.45 ; n - m = 10

                  2) 177°  -   183° ; n - m = 9

                  3) 165°.75 -  194°.25; n- m = 8

                  4) 163°.5  - 196°.5; 10*[n-m ] = 20

                  5) 160°  -  200°; 10*[n-m] = 15

         L'inizio dell'arco veloce si trova per i primi quattro sistemi a l = 153°, mentre per l'ultimo  a l = 142°.

         I parametri del sistema di calcolo basato sui diversi cicli lunisolari sono i seguenti:

Anno

Mesi

Arco lento

Arco veloce

Inizio arco veloce

Inizio arco lento

m

n

Dl° sull'arco veloce

4680

57883.5

172°.55

187°.45

153°

340°45

156

166

0°.9881

4320

53431

177°

183°

153°

336°

144

153

3°.1846

3600

44526.5

165°.75

194°.25

153°

347°.25

120

128

  7°.5756

888

10983

163°.5

194°5

153°

347°.5

296

316

-0°.4938

651

8052

160°

200

142°

342°

217

232

7°.719

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

         Affinché si possa calcolare una longitudine solare è necessario conoscere almeno il valore di longitudine del sole ad una luna nuova o ad una luna piena. Senza questa conoscenza si ha a che fare semplicemente con uno schema di calcolo che gira a vuoto.

         Sia il To definito da

                l(0) = 1° 48' = 1°.8  con la luna all'opposizione, a 180° dal sole.

        

         Il presupposto implicito di questo sistema si basa sulla banale osservazione che il sole si trova ad un valore di longitudine al novilunio in base al valore del mese precedente più l'incremento di velocità angolare che dipende dall'arco in cui si trovava al mese precedente. In termini letterali ciò si esprime

                                     l(1) = l(0) + Dl°/m

con  Dl°/m   = 30° se si è sull'arco veloce oppure  Dl°/m  =30°*m/n se si è sull'arco lento.

          Se si  oltrepassa il punto di discontinuità è necessario procedere ad una correzione della misura eccedente, moltiplicando tale misura per n/m se si passa dall'arco lento a quello veloce,o per m/n se si passa dall'arco veloce a quello lento. In questi casi il sole è andato oltre le sue misure ed è necessario l'opera della giustizia che dà l'appropriata correzione, come esplicitamente vien detto in un frammento di Eraclito, un pensatore ionico della città di Efeso del V secolo a.C.

         Se vi fosse solo questa possibilità di calcolo non si potrebbe andare tanto lontano. E' possibile con una procedura semplicemente aritmetica calcolare la posizione del sole per qualsiasi intervallo di mesi lunari. Colui che guida il carro solare, Apollo, non solo ha la lira ma anche l'arco, con il quale può colpire da lontano.

 

         Indichiamo con DM l'intervallo temporale espresso in mesi.

 

         Si moltiplica DM per A e si divide per B segnando il resto R

 

         R*30°/A fornisce l'incremento di longitudine sull'arco veloce che deve essere aggiunto o sottratto  al valore iniziale. Ovviamente si opera la correzione proporzionale a m/n se il valore iniziale si trova sull'arco lento. Indichiamo il valore così ottenuto con dl.

         Si ottiene

                                     L° = l(0) + dl  per il futuro

                                     L° = l(0) -  dl  per il passato

        

         A questo punto se L° e l(0) appartengono al medesimo arco con   L° >  l(0)   per il futuro e       L°< l(0) per il passato, allora si procede aggiungendo o sottraendo in modo proprozionale a DM la correzione finale del ciclo Dl° propria dell'arco in cui si trova L°. Se non si è oltrepassato alcun punto di discontinuità il valore così ottenuto è la longitudine cercata, altrimenti si corregge proporzionalmente a m/n o a n/m la misura eccedente.

         Se L° e l(0) non appartengono al medesimo arco allora è necessario correggere la differenza L° - primo punto oltrepassato = dl' . Se il nuovo valore L° (primo punto oltrepassato ± dl' ) oltrepassa anche il secondo punto si corregge la seconda volta. Ottenuto il nuovo valore di L° si applica la correzione finale del ciclo  Dl° propria dell'arco in cui si trova L° proporzionalmente a DM.

         La cosmocronologia qui delineata non è solo un pezzo del museo dedicato alla storia del pensiero scientifico, ma è  soprattutto la base per la comprensione corretta e completa di tutta la cultura arcaica, dei principali documenti letterari e religiosi dell'antichità fino a  Dante compreso e forse oltre.

 

         Esempi

        

         Sia dato

                  l(0) + 10006 mesi = 3° 49' 38" con la luna all'opposizione e si voglia sapere il valore di l(0) al tempo zero To applicando il ciclo di 888 anni.

         10006*888/10983   R = 81    81*30°*296/888*316 = 2.56329... = 2° 33' 48"

                            3° 49' 38" - 2°33' 48" = 1°15' 50"

         Non si è oltrepassato alcun punto di discontinuità. La correzione finale per 10006 mesi sull'arco lento è

                  -0.4938 * 10006*296/10983*316 = - 0.4214.. = - 0°- 25' -17"

per cui

                            1° 15' 50" - (- 0° - 25' - 17")  =  1° 41' 7" = l(0)

         Partendo da questo valore iniziale si voglia calcolare la posizione del sole dopo 61125 mesi.

                    61125*888/10983: R = 1014     1014*30°*296/888*316 = 32°5' 19"

                            1° 41' 7" + 32° 5' 19" = 33° 46'  26" = L°

         L° si trova sullo stesso arco lento del valore iniziale. Procedendo alla correzione finale per  61125 mesi si ottiene

                    - 0.4938*61125*296/10983*316 = - 2.57426.. = - 2°-34' -27"

                            33° 46'  26" + [- 2°-34' -27"] = 31° 11' 59" @ 31° 12"

         La posizione del sole dopo 61125 mesi è a l = 31° 12" .   

           Si voglia calcolare la posizione del sole dopo 51119 mesi con

                                       l(0)  = 3° 49' 38" con la luna all'opposizione

       51119*888/10983 : R = 933     933*30°*296/888*316 = 29°.525... = 29° 31' 31"

                                     3° 49' 38" + 39° 31' 31" = 33° 21' 9" = L°

         L° si trova sullo stesso arco lento del valore iniziale. Procedendo alla correzione finale per 51119 mesi si ottiene

              -0.4938*51119*296/10983*316 = - 2.1528... = - 2° -9'  - 10"

                                     33° 21' 9" + [- 2° -9' - 10"] = 31° 11' 59" @ 31° 12"

         Si voglia calcolare la posizione del sole dopo 21780.5 mesi, essendo

                                        l(0) = 1° 42' con la luna all'opposizione

applicando il sistema basato sul ciclo di 3600 anni.

    21780.5*3600/44526 : R = 44040  44040*30°*120/3600*128 = 344°.0625 = 344° 3' 45"

                            1° 42' + 344° 3' 45" = 345° 45' 45" = L°

         L° ha oltrepassato sia il primo che il secondo punto di discontinuità

         345° 45' 45" - 153° = 192° 45' 45" misura eccedente il primo punto di discontinuità

         Si aumenta tale misura moltiplicando per 128/120 = 16/15

                            192°.7625*16/15 = 205°.6133333.. = 205° 36' 48"

                                     153° + 205°36' 48" = 358°36' 48"

         Il valore ha superato il punto di discontinuità a l = 347° 15' . Si procede all'ulteriore correzione proporzionale alla velocità propria dell'arco lento.

                            358° 36' 48" - 347° 15' = 11° 21' 48"

                  11°.363333... *15/16 = 10.653125 = 10° 39' 11" 15'"                     

                  347° 15' +  10° 39' 11" 15'" = 357° 54' 11" 15'" = L°

         Correzione finale per 21780.5 mesi

                  21780.5*7.5756*15/44526*16 = 3°.47410... = 3°28' 26" 45'"

                            357° 54' 11" 15'" + 3° 28' 26" 45'" =  1° 22' 38"

         Dopo 21780.5 mesi il sole si trova in congiunzione con la luna a  l = 1° 22' 38"

 

 

 

 

 

Prof. Giovanni Ferrero

Storia del pensiero scientifico

Facoltà di Scienze della Formazione

Università Di Genova

C.so Montegrappa 39 - 16137 Genova

        

 

 



[1] Una nostra prima Ipotesi sulla struttura della cosmologia arcaica si trova in Introduzione alla cosmologia arcaica greca, pp.45-47 in "Rivista Rosminiana" I (1987) pp. 32-57. Ad essa rinviamo per la bibliografia astronomica scientifica da cui dipendiamo per la conoscenza del Sistema A  babilonese.